Question

如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠BCD=60°，BC=1，E为CD的中点，PC与平面ABCD成角60°
（1）求证：平面EPB⊥平面PBA；
（2）求二面角B-PD-A的平面角正切值的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出BE⊥AB，PA⊥BE，由此能证明BE⊥面PAB，从而得到面PBE⊥平面PAB．
（2）过B点作BF⊥AD于F，过F作FM⊥PD于M，连结BM，由已知条件推导出∠BMF为二面角B-PD-A的平面角，由此能求出二面角B-PD-A平面角正切值．

解答： 解：（1）∵E为CD的中点，BC=1，ABCD为菱形，
∴CE=

1

2

，又∠BCD=60°，∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BE，PA?面PAB，AB?面PAB，PA∩AB=A，
∵BE⊥面PAB，∵BE?平面PBE，
∴面PBE⊥平面PAB．（4分）
（2）过B点作BF⊥AD于F，过F作FM⊥PD于M，连结BM，
∵BF⊥AD，BF⊥PA，∴BF⊥面PAD，
∵BM为面PAD的斜线，MF为BM在面PAD的射影，∴BM⊥PD，
∴∠BMF为二面角B-PD-A的平面角，（8分）
PC与面ABCD成角60°，∠PCA=60°，PA=3，
BF=

3

2

，MF=

3

2 10

，∠BMF=

30

3

，
∴二面角B-PD-A平面角正切值为

30

3

．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．