Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n+1²=4S_n+4n-3，且a₂，a₅，a₁₄恰好是等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N^*，（T_n+

3

2

）k≥3n-6恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据a_n+1²=4S_n+4n-3得，当n≥2时，a_n²=4S_n-1+4（n-1）-3，两个式子相减利用a_n与S_n的关系化简，由等差数列的定义得：当n≥2时，{a_n}是公差为2的等差数列，再由条件求出a₂、a₁的值，从而求出a_n，由等比数列的通项公式求出b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比数列的前n项和公式得：T_n=

3n+1-3

2

，代入不等式（T_n+

3

2

）k≥3n-6再分离参数得：k≥

2n-4

3n

，令cn=

2n-4

3n

，利用作差确定数列{c_n}的单调性，求出数列的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，a_n+1²=4S_n+4n-3，
当n≥2时，a_n²=4S_n-1+4（n-1）-3，
两个式子相减得，a_n+1²-a_n²=4a_n+4，
即a_n+1²=（a_n+2）²，
又a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，
当n≥2时，{a_n}是公差为2的等差数列，
因为a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，所以a52=a2•a14，
即(a2+6)2=a2•(a2+24)，解得a₂=3，
把n=1代入a_n+1²=4S_n+4n-3得，a22=4a1+4-3，解得a₁=2，
又a₂-a₁=3-2≠2，则数列{a_n}是从第二项起以2为公差的等差数列，
所以数列{a_n} 的通项公式为a_n=

2，n=1 2n-1，n≥2

，
由题意知，b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，b₃=a₁₄=27，且{b_n}是等比数列，
所以{b_n}的通项公式b_n=3ⁿ；
（2）由（1）得，b_n=3ⁿ，
所以数列{b_n}的前n项和为T_n=

3(1-3n)

1-3

=

3n+1-3

2

，
因为对任意的n∈N^*，（T_n+

3

2

）k≥3n-6恒成立，
所以（

3n+1-3

2

+

3

2

）k≥3n-6对任意的n∈N^*恒成立，
即k≥

2n-4

3n

对任意的n∈N^*恒成立，
令cn=

2n-4

3n

，则cn+1-cn=

2(n+1)-4

3n+1

-

2n-4

3n

=

10-4n

3n+1

=

2(5-2n)

3n+1

，
当n≤2时，c_n+1＞c_n，当n≥3时，c_n+1＜c_n，
所以cn=

2n-4

3n

的最大项是c₃=

2×3-4

33

=

2

27

，
所以k≥

2

27

．

点评：本题考查了a_n与S_n的关系，等差数列、等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，数列的恒成立转化为求数列的最大项问题，通过作差研究数列的单调性也是常用的方法，难度较大，一定要注意n的取值范围．