Question

已知椭圆C的长轴的两个端点分别为A（-2，0），B（2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3，点P是椭圆C上异于A，B的一动点，直线AP，BP与直线l：x=a （F∉l）分别相交于M，N两点，记直线FM，FN的斜率的乘积为u．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）对于给定的常数a，证明u是一个与P的位置无关的常数；
（Ⅲ）当a变化时，求u的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先求出a，利用过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3，求出b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求出M，N的坐标，可得直线FM，FN的斜率的乘积，化简即可证明u是一个与P的位置无关的常数；
（Ⅲ）当a变化时，利用基本不等式或导数知识求u的最小值．

解答： （Ⅰ）解：由已知可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，则a=2，其焦点坐标为（±c，0），
由

c2

a2

+

y2

b2

=1得y=±

b2

a

，从而过焦点且垂直于长轴的弦长为

2b2

a

，
由题设

2b2

a

=3，所以b²=3，故所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．    …（4分）
（Ⅱ）证明：依题意得右焦点F的坐标为（1，0），设P的坐标为（x₀，y₀），…（5分）
则直线AP的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，它与l的交点为M（a，

y0

x0+2

（a+2）），
直线BP的方程为y=

y0

x0-2

(x-2)，它与l的交点为N（a，

y0

x0-2

（a-2））．…（7分）
因此，直线FM，FN的斜率的乘积为u=

y02 x02-4 (a2-4)

(a-1)2

=-

3(a2-4)

4(a-1)2

，它是一个与点P的位置无关的常数 …（9分）
（Ⅲ）解法1：u=-

a+2

2a-2

•

3a-6

2a-2

≥-(

a+2 2a-2 + 3a-6 2a-2

2

)2=-1，…（12分）
“=”当且仅当a+2=3a?6，即a=4时成立，
故u的最小值为-1．  …（13分）
解法2：求得：u′=

3(a-4)

2(a-1)3

． …（10分）
故a∈（-∞，1）时，u为增函数；a∈（1，4）时，u为减函数；a∈[4，+∞）时，u为增函数．…（12分）
u_极小=u|_a=4=-1，但a→±∞时，u→1，
故u的最小值为-1． …（13分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．