题目内容

某生产车间的生产技术成熟，产品质量稳定，为了掌握产品质量情况，前后进行了5次抽检，每次抽取样本10件，检查情况如下表（产品质量等级仅分为一等品和二等品两种）
抽检次数第1次第2次第3次第4次第5次
二等品个数01211
（1）以样本中二等品的频率作为产品总体中二等品的概率，求从产品中任取3件恰有1件是二等品的概率；
（2）在第3次抽检的样本中（含2个二等品），任取3件，其中二等品的件数为X，求X的分布列和期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（1）5次抽检中，共有5件二等品，样本中二等品的频率为0.1，所以从总体中任取一件产品为二等品的概率为0.1，进而可得从产品中任取3件恰有1件是二等品的概率P=
C
1
3
×0.1×（1-0.1）2；
（2）依题意知X=0，1，2，求出P（X=i），i=0，1，2的概率，进而得到随机变量X分布列和期望．
解答： 解：（1）5次抽检中，共有5件二等品，样本中二等品的频率为0.1，
所以从总体中任取一件产品为二等品的概率为0.1，
从产品中任取3件恰有1件是二等品的概率P=
C
1
3
×0.1×（1-0.1）2=0.243
（2）依题意知X=0，1，2，
则P（X=0）=
C
3
8
C
3
10
=
7
15
，
P（X=1）=
C
2
8
•
C
1
2
C
3
10
=
7
15
，
P（X=2）=
C
2
8
•
C
1
2
C
3
10
=
1
15
，
∴随机变量X的分布列是
x 0 1  2
 P 
7
15
 
7
15
1
15
 
∴E（x）=0×
7
15
+1×
7
15
+2×
1
15
=
3
5
点评：此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．
练习册系列答案
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下列命题正确的是
 
（写序号）
①命题“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”：
②函数f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为“π”是“a=1”的必要不充分条件；
③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；
④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．
复数z满足（2+i）z=-3+i，则z=（　　）
A、2+iB、2-i
C、-1+iD、-1-i
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足an+12=4Sn+4n-3，且a2，a5，a14恰好是等比数列{bn}的前三项．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，（Tn+
3
2
）k≥3n-6恒成立，求实数k的取值范围．
有以下三个关于圆锥曲线的命题：
①设A、B是两定点，k为非零常数，|
PA
|-|
PB
|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点．
其中是真命题的序号为
 
．
对某班级50名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计，得到如下频率分布表：
参加次数0123
人数0.10.20.40.3
根据上表信息解答以下问题：
（Ⅰ）从该班级任选两名同学，用η表示这两人参加社会实践次数之和，记“函数f（x）=x2-ηx-1在区间（4，6）内有零点”的事件为A，求A发生的概率P；
（Ⅱ）从该班级任选两名同学，用ξ表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是
 
．
有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4）且k∈R个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中y=
4(
16
9-x
-1)  ，0≤x≤5
4(11-
2
45
x2)，5＜x≤16
．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．
（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；
（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
已知函数f（x）=
-x2+2ax(x≥1)
2ax-1(x＜1)
，若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f（x1）=f（x2），则实数a的取值范围为
 
．

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