Question

已知f（x）=（x-a）（x-b）-2，（a＜b），并且α，β是方程f（x）=0的两根，（α＜β），则实数a，b，α，β大小关系为

 

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Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：综合题,探究型,数形结合

分析：方法一：首先把方程化为一般形式，由于α，β是方程的解，根据根与系数的关系即可得到a，b，α，β之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．
方法二：可作出w=（x-a）（x-b）与y=（x-a）（x-b）-2的图象，由图象比较即可得到结论

解答： 解：方法1：方程化为一般形式得：x²-（a+b）x+ab-2=0，
∵α，β是方程（x-a）（x-b）-2=0的两根，∴α+β=a+b
f（α）=0，f（β）=0，f（a）＜0，f（α）＜0
又二次函数图象开口向上，∴必有α＜a＜b＜β；
故答案为：α＜a＜b＜β．
方法2：令w=（x-a）（x-b），作出图象抛物线与x轴交于点a，b．则y=（x-a）（x-b）-2的图象是将w向下平移2个单位得到，如图则α、β是抛物线y与x轴的两个交点．在图上可以直接看到α＜a＜b＜β．
故答案为：α＜a＜b＜β．

点评：本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，对a，b，α，β大小关系的讨论是此题的难点，是中档题．