Question

在二项式（

x

-

2

x

）¹²的展开式中．
（Ⅰ）求展开式中含x³项的系数；
（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（I）根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x³项的系数是多少；
（II）由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．

解答： 解：（I）展开式中第r+1项是
Tr+1=

C

r 12

x

12-r

2

(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 12

x6-

3

2

r，…（3分）
令6-

3

2

r=3，
解得r=2；…（4分）
∴展开式中含x³项的系数为(-2)2

C

2 12

=264；…（6分）
（II）∵第3k项的二项式系数为

C

3k-1 12

，
第k+2项的二项式系数为

C

k+1 12

；
∴

C

3k-1 12

=

C

k+1 12

，…（9分）
∴3k-1=k+1，或3k-1+k+1=12；
解得k=1，或 k=3．…（12分）

点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了一定的逻辑推理与计算能力，是基础题目．