Question

13．在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM和CN所成的角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直线坐标系，利用向量法能求出直线AM和CN所成的角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直线坐标系，
则A（4，0，0），M（4，2，4），C（0，4，0），N（4，4，2），
$\overrightarrow{AM}$=（0，2，4），$\overrightarrow{CN}$=（4，0，2），
设直线AM和CN所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{CN}|}$=$\frac{8}{\sqrt{20}•\sqrt{20}}$=$\frac{2}{5}$．
∴直线AM和CN所成的角的余弦值是$\frac{2}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．