题目内容
10．已知定义在N*上的单调增函数y=f（x），对于任意的n∈N*，都有f（n）∈N*且f（f（n））=3n恒成立，则f（2017）-f（1999）=18．分析 依次令n=1、2、3、4…，分别计算f（1）、f（2）、f（3）、f（4）…，根据规律归纳f（x）的解析式即可计算出答案．
解答 解：令n=1得f（f（1））=3，
若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾；
若f（1）=3，则f（f（1））=f（3）=3，与f（x）是增函数矛盾；
同理f（1）不可能大于3，
∴f（1）=2，
∴f（f（1））=f（2）=3，
令n=2得f（f（2））=f（3）=6，
令n=3得f（f（3））=f（6）=9，
∴f（4）=7，f（5）=8．
令n=4得f（f（4））=f（7）=12，
令n=5得f（f（5））=f（8）=15，
令n=6得f（f（6））=f（9）=18，
令n=7得f（f（7））=f（12）=21，
∴f（10）=19，f（11）=20，
令n=8得f（f（8））=f（15）=24，
∴f（13）=22，f（14）=22
…
归纳可得：当n≥9时，f（n）=n+9，
∴f（2017）-f（1999）=（2017+9）-（1999+9）=18．
故答案为18．
点评 本题考查了抽象函数的函数值计算，归纳推理，属于中档题．
练习册系列答案
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17．某三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形，则该棱锥最长的棱长为（ ）
| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
18．若 n∈N且 n＜20，则 （28-n）（29-n）…（34-n）等于（ ）
| A． | A${\;}_{27-n}^{8}$ | B． | A${\;}_{34-n}^{27-n}$ | C． | A${\;}_{34-n}^{7}$ | D． | A${\;}_{34-n}^{8}$ |
在平面直角坐标系中，已知两定点$A（-\frac{1}{3}\;，\;0）$和$B（{\frac{1}{3}\;，\;0}）$，点M是平面内的动点，且$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}}|+|{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}}|=4$．