Question

19．在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3$\sqrt{2}$、4$\sqrt{2}$、5$\sqrt{2}$，则以线段PQ为直径的球的体积为$\frac{500}{3}π$．

Answer 1

分析 根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3$\sqrt{2}$、4$\sqrt{2}$、5$\sqrt{2}$的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，再由长方体和其外接球的关系求解．

解答 解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3$\sqrt{2}$、4$\sqrt{2}$、5$\sqrt{2}$的长方体，
则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线．
2R=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}+（5\sqrt{2}）^{2}}=10$．
由球的体积公式得V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{500}{3}π$
故答案为：$\frac{500}{3}π$．

点评 本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系，确定外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线是关键．