Question

15．在△ABC中，角A，B，C成等差数列，且最大边和最小边是方程2x²-6x+3=0的两根，则△ABC的外接圆半径等于$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用一元二次方程的根与系数的关系，得出最大边与最小边之间的等量关系，再利用余弦定理可求b，进而利用正弦定理即可得解．

解答 解：∵角A，B，C成等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2B=A+C}\\{A+B+C=π}\end{array}\right.$，解得：B=$\frac{π}{3}$，
∴b既不是最大边，也不是最小边，不妨假设c为最大边，a为最小边，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+c=3}\\{ac=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴b²=c²+a²-2accos60°=（a+c）²-3ac=$\frac{9}{2}$，
∴b=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（a=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$舍去）
∴R=$\frac{b}{2sinB}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系，正弦定理，余弦定理以及二次根式的计算，题目综合性较强．