Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[

π

6

，

π

2

]上具有单调性，且f（

π

2

）=f（

2π

3

）=-f（

π

6

），则f（x）的最小正周期为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：依题意，可知x=

π 2 + 2π 3

2

=

7π

12

为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，且（

π 6 + π 2

2

，0）即（

π

3

，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，从而可得

1

4

T=

1

4

•

2π

ω

=

7π

12

-

π

3

，继而可求得f（x）的最小正周期．

解答： 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）在区间[

π

6

，

π

2

]上具有单调性，ω＞0，
∴

π

2

-

π

6

≤

1

2

T=

1

2

•

2π

ω

=

π

ω

，即

π

3

≤

π

ω

，
∴0＜ω≤3；
又f（

π

2

）=f（

2π

3

）=-f（

π

6

），
∴x=

π 2 + 2π 3

2

=

7π

12

为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，且（

π 6 + π 2

2

，0）即（

π

3

，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，
依题意知，x=

7π

12

与（

π

3

，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心，
∴

1

4

T=

1

4

•

2π

ω

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，
解得：ω=2∈（0，3]，
∴T=

2π

2

=π，
故答案为：π．

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，确定x=

7π

12

与（

π

3

，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．