Question

12．已知函数f（x）=sin²x-cos²x-2$\sqrt{3}$sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（$\frac{2π}{3}$）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析 利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（$\frac{2π}{3}$）的值．
（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间

解答 解：∵函数f（x）=sin²x-cos²x-2$\sqrt{3}$sinx cosx=-$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x+$\frac{7π}{6}$）
（Ⅰ）f（$\frac{2π}{3}$）=2sin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{7π}{6}$）=2sin$\frac{5π}{2}$=2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
即f（x）的最小正周期为π，
由2x+$\frac{7π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[-$\frac{5π}{6}$+kπ，-$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[-$\frac{5π}{6}$+kπ，-$\frac{π}{3}$+kπ]或写成[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．