Question

12．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的两倍，则$\frac{sin∠B}{sin∠C}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×AB×AD×sin∠BAD}{\frac{1}{2}×AC×AD×sin∠CAD}$，sin∠BAD=sin∠CAD，得到$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{AB}{AC}$=2，由此能求出$\frac{sin∠B}{sin∠C}$的值．

解答 解：∵在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的两倍，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×AB×AD×sin∠BAD}{\frac{1}{2}×AC×AD×sin∠CAD}$，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴sin∠BAD=sin∠CAD，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{AB}{AC}$=2，
∵$\frac{AB}{sin∠C}$=$\frac{AC}{sin∠B}$，
∴$\frac{sin∠B}{sin∠C}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角形中两角正弦值的求法，涉及到三角形面积公式、正弦定理等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．