Question

11．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAH⊥平面DEF；
（Ⅲ）若二面角P-CD-B的平面角为45°，求PD与平面PAH所成的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD的中点M，利用E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．可得平面AEFM是平行四边形．即可证EF∥平面PAD；
（Ⅱ）面面垂直转化为线面垂直证明即可．只需证明ED⊥平面PAH，即可得平面PAH⊥平面DEF．
（Ⅲ）找出PD与平面PAH所成，利用二面角P-CD-B的平面角为45°，计算边长的关系，即求其正弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：取PD的中点M，连接AM，FM，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．
∴平面AEFM是平行四边形．
则EF∥AM，AM?平面PAD；EF不在平面PAD内．
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）证明：E，H分别为AB，BC的中点．ABCD为正方形，
∴△ABH≌△ADE．
则∠BAH+∠AED=90°
∴AH⊥ED．
侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，
∴PA⊥底面ABCD．
∴PA⊥ED．
∴ED⊥平面PAH．
ED?平面EFD，
∴平面EFD⊥平面PAH．
（Ⅲ）AH∩DE=O，
∵ED⊥平面PAH，连接OP，
则PO为PD在平面PAH内的射影，
可得∠OPD为线面角．即PD与平面PAH所成角．
侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，
∴PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴∠ADP是平面PCD和CDB的二面角，即∠ADP=45°
由射影定理，可得：AD²=OD•DE．
∴OD=$\frac{2}{\sqrt{5}}a$
∴sin∠OPD=$\frac{\sqrt{10}}{5}$
∴PD与平面PAH所成的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、线面角，面面之间的关系问题和二面角问题．属于中档题．