Question

14．设函数f（x）=|x-1|+|x-a|
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）若不等式f（x）≥3对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用a=3，化简不等式，通过分类讨论取得绝对值求解即可．（2）利用函数恒成立，转化求解即可．

解答 解：（1）当a=-1时，不等式f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3，
①当x≥1时，不等式即x-1+x+1≥5，解得x≥$\frac{5}{2}$；
②当-1＜x＜1时，不等式即x-1-1-x≥5，无解；
③当x≤-1时，不等式即1-x-1-x≥3，解得x≤-$\frac{3}{2}$；
综上，不等式f（x）≥5的解集为（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．
（2）∵f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，
∴f（x）_min=|a-1|．
∵f（x）≥3对任意x∈R恒成立，
∴|a-1|≥3，解得a≤-2或a≥4，
即实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[4，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．