题目内容
已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE上的动点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1-CD-B的大小为θ，设
=λ，λ∈（0，1）．
（1）若θ=
且A1E与平面BCD所成的角的正切值为
，求二面角A1-DE-B的大小的正切值；
（2）已知λ=
，G为A1E的中点，若BG⊥A1D，求cosθ的取值．
| CD |
| BE |
（1）若θ=
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
（2）已知λ=
| 1 |
| 2 |
考点：二面角的平面角及求法
专题：计算题,作图题,空间位置关系与距离
分析：（1）由题意可证A1C⊥平面BCD，从而∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，设A1C=x，由勾股定理可求得x=2，作出二面角A1-DE-B的平面角∠A1OC，在直角三角形中求正切值即可，
（2）由题意可知，A1B=BE=2，A1C=BC=2，故△A1CB是等边三角形，从而求cosθ的取值．
（2）由题意可知，A1B=BE=2，A1C=BC=2，故△A1CB是等边三角形，从而求cosθ的取值．
解答：
解：（1）由题意，∠A1CB=θ=
，∴A1C⊥CB，
∵A1C⊥CD，CB∩CD=C，
∴A1C⊥平面BCD，
∴∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，
设A1C=x，
∵A1E与平面BCD所成的角的正切值为
，∴CE=
x，
∴（4-x）2+4=（
x）2，∴x=2，即C为AB的中点，
在图1中，设C在AD上的射影为O，则CO=
，
∠A1OC为二面角A1-DE-B的平面角，
∴二面角A1-DE-B的大小的正切值为tan∠A1OC=
=
；
（2）∵
=λ=
，∴C为AB的中点，
又∵G为A1E的中点，BG⊥A1D，
∴A1B=BE=2，
又∵A1C=BC=2，
故△A1CB是等边三角形，
故cosθ=
．
解：（1）由题意，∠A1CB=θ=| π |
| 2 |
∵A1C⊥CD，CB∩CD=C，
∴A1C⊥平面BCD，
∴∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，
设A1C=x，
∵A1E与平面BCD所成的角的正切值为
| ||
| 2 |
| 2 |
∴（4-x）2+4=（
| 2 |
在图1中，设C在AD上的射影为O，则CO=
2
| ||
| 5 |
∠A1OC为二面角A1-DE-B的平面角，
∴二面角A1-DE-B的大小的正切值为tan∠A1OC=
| A1C |
| OC |
| 5 |
（2）∵
| CD |
| BE |
| 1 |
| 2 |
又∵G为A1E的中点，BG⊥A1D，
∴A1B=BE=2，
又∵A1C=BC=2，
故△A1CB是等边三角形，
故cosθ=
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了空间中的位置关系，考查了学生的空间想象力与作图能力，同时考查了勾股定理的应用，属于难题．
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