Question

2．如图，长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴正半轴和y正半轴上滑动，T为AB的中点，∠OAB=75°，当线段AB滑动到A₁B₁位置时，∠OA₁B₁=45°．线段在滑动时点T运动到T₁点，则点T运动的路程为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由AT=2可得T的运动轨迹为圆，连接OT，OT₁，则可求出∠AOT=75°，∠A₁OT₁=45°，从而求出T的路程．

解答 解：∵OT=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴T的轨迹为以O为原点，以2为半径的圆．
连接OT，OT₁，则∠TOA=∠OAT=75°，
同理：∠A₁OT₁=∠OA₁T₁=45°，
∴∠TOT₁=30°，
∴点T运动的路程为$\frac{30×2π×2}{360}$=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，轨迹方程，属于中档题．