Question

10．若不等式x²+ax+1≥0对一切x∈（0，$\frac{3}{2}}$]成立，则a的最小值是-2．

Answer 1

分析 根据题意，问题转化为a≥-x-$\frac{1}{x}$；即求x∈（0，$\frac{3}{2}}$]时-（x+$\frac{1}{x}$）的最大值即可．

解答 解：不等式x²+ax+1≥0对一切x∈（0，$\frac{3}{2}}$]成立，
∴ax≥-x²-1，
即a≥-x-$\frac{1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）；
由x∈（0，$\frac{3}{2}}$]，
∴x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时“=”成立，
即-（x+$\frac{1}{x}$）的最大值是-2；
∴a的最小值是-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查了转化法与转化思想的应用问题，也考查了一元二次不等式的应用问题，是中档题．