Question

18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有$\frac{xf'（x）-f（x）}{x^2}＞0$成立，则不等式x²f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据条件便可得到函数$g（x）=\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上单调递增，容易判断g（x）为偶函数，从而g（x）在（-∞，0）上单调递减．而解不等式x²f（x）＞0可得f（x）＞0，可以得到f（-2）=f（2）=0，这样根据g（x）的单调性便可得出x＞2和-2＜x＜0时，f（x）＞0，这样即可得出原不等式的解集．

解答 解：∵$（\frac{f（x）}{x}）′=\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$；
∴x＞0时，$（\frac{f（x）}{x}）′＞0$；
设$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，则g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∵f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x）；
∴$g（-x）=\frac{f（-x）}{-x}=\frac{f（x）}{x}=g（x）$；
∴g（x）为偶函数；
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减；
由x²f（x）＞0得，f（x）＞0；
f（2）=f（-2）=0；
∴①x＞2时，$g（x）＞\frac{g（2）}{2}$=0；
即x＞2时，$\frac{f（x）}{x}＞0$，∴f（x）＞0；
②-2＜x＜0时，g（x）＜g（-2）=$\frac{f（-2）}{-2}=0$；
即-2＜x＜0时，$\frac{f（x）}{x}＜0$，∴f（x）＞0；
∴原不等式的解集为（-2，0）∪（2，+∞）．
故选A．

点评 考查商的导数的求导，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及奇函数、偶函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性特点，不等式的性质，增函数和减函数定义的运用．