Question

10．在平面内，已知四边形ABCD，CD⊥AD，∠CBD=$\frac{π}{12}$，AD=5，AB=7，且cos2∠ADB+3cos∠ADB=1，则BC的长为4$\sqrt{6}$-4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用已知及倍角公式可得2cos²∠ADB+3cos∠ADB-2=0，从而解得cos∠ADB=$\frac{1}{2}$，可得∠ADB=$\frac{π}{3}$，又CD⊥AD，可得∠DBC=$\frac{π}{6}$，∠BCD=$\frac{3π}{4}$，在△ABD中，由余弦定理可求BD，在△BCD中，由正弦定理即可求得BC的值．

解答 解：∵cos2∠ADB+3cos∠ADB=1，
∴2cos²∠ADB+3cos∠ADB-2=0，解得：cos∠ADB=$\frac{1}{2}$或-2（舍去）．
∴∠ADB=$\frac{π}{3}$，又CD⊥AD，可得：∠BDC=$\frac{π}{6}$，∠BCD=$\frac{3π}{4}$，
∵在△ABD中，AD=5，AB=7，由余弦定理可得：49=25+BD²-2×$5×BD×\frac{1}{2}$，
∴解得：BD=8或-3（舍去）．
∴在△BCD中，由正弦定理可得：$\frac{8}{sin∠BCD}=\frac{BC}{sin30°}$，
∴BC=$\frac{8×\frac{1}{2}}{sin\frac{3π}{4}}$=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．