Question

9．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d≠0且a₂，a₄，a₈成等比数列．数列{b_n}的前n项和为S_n且S_n=2b_n-2（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$+log₂b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列通项公式和等比数列性质求出公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式数列，由S_n=2b_n-2（n∈N^*），得$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=2（n≥2）$，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$+log₂b_n=$\frac{1}{n（n+1）}+n$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+n$，利用裂项求和法和分组求和法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d≠0且a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴${{a}_{4}}^{2}={a}_{2}{a}_{8}$，即（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
解得d=1或d=0（舍），
∴a_n=1+（n-1）=n．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n且S_n=2b_n-2（n∈N^*），
∴当n=1时，S₁=b₁=2b₁-2，解得b₁=2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2（b_n-b_n-1），
整理，得$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=2（n≥2）$，
∴数列{b_n}是以b₁=2为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ，n∈N^*．
（2）由（1）得c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$+log₂b_n=$\frac{1}{n（n+1）}+n$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+n$，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）+（1+2+3+…+n）
=1-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{n}{n+1}+\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．