Question

15．已知向量$\overrightarrow a=（{1，2}），\overrightarrow b=（cosα，sinα）$，设$\overrightarrow m=\overrightarrow a+t\overrightarrow b$（t为实数）．
（1）若α=$\frac{π}{4}$，求当$|{\overrightarrow m}|$取最小值时实数t的值； 
（2）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，问：是否存在实数t，使得向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$和向量$\overrightarrow m$夹角的余弦值为$\frac{2}{3}$，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）α=$\frac{π}{4}$，可得$\overrightarrow{b}$=$（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．利用数量积运算性质可得：|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{{t^2}+3\sqrt{2}t+5}$=$\sqrt{{{（{t+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）}^2}+\frac{1}{2}}$，再利用二次函数的单调性即可得出．
（2）存在实数t满足条件，理由如下：$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，由条件得$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2}{3}$，分别计算$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{6}$，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{5+{t^2}}$，代入即可得出．

解答 解：（1）α=$\frac{π}{4}$，∴$\overrightarrow{b}$=$（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
则|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{{t^2}+3\sqrt{2}t+5}$=$\sqrt{{{（{t+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）}^2}+\frac{1}{2}}$，…（4分）
所以当t=$-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$时，|m|取到最小值，最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（6分）
（2）存在实数t满足条件，理由如下：$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．
由条件得$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2}{3}$，…（7分）
又因为$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{5-0+1}$=$\sqrt{6}$，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{5+{t^2}}$，
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-t${\overrightarrow{b}}^{2}$=5-t，∴$\frac{5-t}{{\sqrt{6}×\sqrt{5+{t^2}}}}$=$\frac{2}{3}$，且t＜5，整理得t²+6t-7=0，所以存在t=1或t=-7满足条件．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的单调性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．