题目内容
6．已知曲线C：f（x）=x3-x+3（1）利用导数的定义求f（x）的导函数f'（x）；
（2）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．
分析 （1）运用导数的定义，求得△y，和f'（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△y}{△x}$，计算即可得到所求；
（2）由导数的几何意义，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到所求切线的方程．
解答 解：（1）△y=f（x+△x）-f（x）=（x+△x）3-（x+△x）+3-x3+x-3
=3x2△x+3x△x2+△x3-△x，
∴$\frac{△y}{△x}$=3x2+3x△x+△x2-1，
则导函数f'（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△y}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$（3x2+3x△x+△x2-1）=3x2-1；
（2）由f（x）得f′（x）=3x2-1，
设所求切线的斜率为k，
则k=f′（1）=3×12-1=2，
又f（1）=13-1+3=3，
所以切点坐标为（1，3），
由点斜式得切线的方程为y-3=2（x-1），即2x-y+1=0．
点评 本题考查导数的定义和运用：求切线的方程，注意运用定义法和直线方程，考查运算能力，属于基础题．
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| A． | $\frac{5}{2}（\sqrt{2}-1）π$ | B． | $\frac{25}{4}（3-2\sqrt{2}）π$ | C． | $25（3-2\sqrt{2}）π$ | D． | $\frac{125}{6}（5\sqrt{2}-7）π$ |
