Question

3．设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在区间[0，4]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）根据函数的单调性求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函数在x=1及x=2时取得极值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=6+6a+3b=0}\\{f′（2）=24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=4}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得f（x）=2x³-9x²+12x，
f′（x）=6（x²-3x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故f（x）在（-∞，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增；
（3）由（2）得函数在x=1，x=2处取得极值，
故f（0）=0，f（1）=5，f（2）=4，f（4）=32，
故函数f（x）的最大值是32，最小值是0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．