Question

20．函数f（x）=$\frac{{2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+4{x^2}-x}}{{2{x^2}+cosx}}$的最大值为M，最小值为N，则有（　　）

• A． M-N=4
• B． M-N=0
• C． M+N=4
• D． M+N=0

Answer 1

分析 化简函数f（x）=2+$\frac{2sinx-x}{{2x}^{2}+cosx}$，令g（x）=$\frac{2sinx-x}{{2x}^{2}+cosx}$，则f（x）=g（x）+2，g（x）为定义域上的奇函数，最大值与最小值的和为0；由此求出M+N的值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+4{x^2}-x}}{{2{x^2}+cosx}}$
=$\frac{2（sinx+cosx）+{4x}^{2}-x}{{2x}^{2}+cosx}$
=$\frac{2cosx+{4x}^{2}}{{2x}^{2}+cosx}$+$\frac{2sinx-x}{{2x}^{2}+cosx}$
=2+$\frac{2sinx-x}{{2x}^{2}+cosx}$；
令g（x）=$\frac{2sinx-x}{{2x}^{2}+cosx}$，
则f（x）=g（x）+2，g（-x）=$\frac{-2sinx+x}{{2x}^{2}+cosx}$=-g（x），
∴函数g（x）为定义域上的奇函数，图象关于原点对称，
最大值与最小值也关于原点对称，
即函数g（x）的最值的和为0．
∵f（x）=g（x）+2，
∴M+N=g（x）_min+2+g（x）_max+2=4．
故选：C．

点评 本题考查了利用函数的奇偶性求最值的应用问题，是中档题．