Question

己知：f（x）=lnx-ax+1，
（1）当a=1时，求证：f（x）≤0
（2）当a∈R时，讨论函数的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x+1，（x＞0）．f′（x）=

1

x

-1，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出，即可得出单调性极值．
（2）f′（x）=

1

x

-a，（x＞0）．对a分类讨论：a≤0，a＞0，利用导数研究函数的单调性．

解答： （1）证明：当a=1时，f（x）=lnx-x+1，（x＞0）．
f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，令f′（x）=0，解得x=1．
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得1＜x，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，即最大值，f（1）=0．
∴f（x）≤f（1）=0．
（2）解：f′（x）=

1

x

-a，（x＞0）．
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，f′（x）=

-a(x- 1 a )

x

，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

；令f′（x）＜0，解得x＞

1

a

．
∴函数f（x）的单调递增区间为(0，

1

a

)，单调递减为(

1

a

，+∞)．
综上可得：当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为(0，

1

a

)，单调递减为(

1

a

，+∞)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．