题目内容
如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=| 2 |
| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AA1 |
| c |
（1）试用
| a |
| b |
| c |
| AC |
| BD1 |
（2）若∠A1AD=∠A1AB=120°，求直线AC与BD1所成的角．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）根据向量的加法或减法很容易求解．
（2）要求直线AC与BD1所成的角，我们来求向量
与
所成的角．设这两个向量夹角为θ，则cosθ=
，根据条件分别求出
•
，|
|，|
|即可．
（2）要求直线AC与BD1所成的角，我们来求向量
| AC |
| BD1 |
| ||||
|
|
| AC |
| BD1 |
| AC |
| BD1 |
解答：
解：（1）
=
+
，
=
-
=
+
-
．
（2）由题意得：
•
=(
+
)•(
+
-
)=
•
+
•
-
2+
2+
•
-
•
=0-
-1+1-
-0=-
；
|
|=
，
2=(
+
-
)2=
2+
2+2
•
-2
•
-2
•
+
2=1+2-
-0+
+1=4，∴|
|=2；
∴若设向量
与
所成的角为θ，则cosθ=
=-
，∴θ=135°，∴直线AC与BD1所成的角为45°．
| AC |
| a |
| b |
| BD1 |
| AD1 |
| AB |
| b |
| c |
| a |
（2）由题意得：
| AC |
| BD1 |
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
| a |
| b |
| a |
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
| b |
| a |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
|
| AC |
| 2 |
| BD1 |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| b |
| c |
| b |
| a |
| c |
| a |
| a |
| 2 |
| 2 |
| BD1 |
∴若设向量
| AC |
| BD1 |
| ||||
|
|
| ||
| 2 |
点评：注意通过求
2来求|
|的方法，以及通过求向量夹角来求直线的夹角的方法，利用这种方法时注意直线间夹角的范围．
| BD1 |
| BD1 |
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