题目内容

已知函数f（x）=ln（1+x）-
ax
x+1
（a＞0）．
（1）实数a为何值时，使得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（2）试比较（
2013
2014
）2014与
1
e
的大小．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）先求导，再根据f（x）在（0，+∞）内单调递增，得f′（x）≥0恒成立，即x+1-a≥0恒成立，问题得以解决．
（2）利用分析和综合法，原题转化为ln（1+
1
2013
）-
1
2013+1
与0的大小关系，根据（1）可知f（
1
2013
）＞f（0）=0，问题得以解决．
解答： 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-
ax
x+1
，
则f′（x）=
x+1-a
(x+1)2
，
∵f（x）在（0，+∞）内单调递增，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴x+1-a≥0恒成立，
∴a≤1+x，
∴a≤1，
所以a的取值范围为（0，1]．
（2）要比较（
2013
2014
）2014与
1
e
的大小．等价于比较(
2014
2013
)2014与e的大小
因函数y=lnx在（0，+∞）上是增函数，等价于比较2014ln
2014
2013
与1的大小
等价于ln
2014
2013
与
1
2014
的大小，即ln（1+
1
2013
）-
1
2013+1
与0的大小
由（1）知f（x）=ln（1+x）-
x
x+1
在（0，+∞）内单调递增，
而
1
2013
＞0，则f（
1
2013
）＞f（0）=0，
令x=
1
2013
得f（
1
2013
）=ln（1+
1
2013
）-
1
2013+1
＞0，
即（
2013
2014
）2014＜
1
e
．
点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查函数单调性的性质，构造函数求解证明不等式问题，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
某班联欢晚会玩投球游戏，规则如下：每人最多可连续投5只球，累积有三次投中即可获奖；否则不获奖．同时要求在以下两种情况下中止投球：①已获奖；②累积3次没有投中目标．已知某同学每次投中目标的概率是常数p（p＞0.5），且投完3次就中止投掷的概率为
1
3
，设游戏结束时，该同学投出的球数为X．
（1）求p的值；
（2）求X的分布列和数学期望．
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且满足cosA=
3
5
，
AB
•
AC
=3．
（1）求△ABC中的面积；   
（2）若c=1，求a的值．
已知点A（-2，0），B（2，0），动点C、D依次满足|
AC
|=2，
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
）．
（1）求动点D的轨迹方程；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，若线段MN的中点到y轴的距离为
4
5
，且直线l与圆
x2+y2=1相切，求该椭圆的方程；
（3）经过（2）中椭圆的上顶点G作直线m、n，使m⊥n，直线m、n分别交椭圆于点P、Q．求证：PQ必过y轴上一定点．
如图在边长为a的正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD中点，设
AE
=
α
，
AF
=
β
．
（1）试用
α
、
β
表示向量
AB
、
AD
；
（2）求向量
α
、
β
夹角的大小．
如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=
2
，设
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c

（1）试用
a
，
b
，
c
表示向量
AC
、
BD1
；
（2）若∠A1AD=∠A1AB=120°，求直线AC与BD1所成的角．
已知集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx=1}，若B?A，求由实数m所构成的集合M．
从4名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛，
①求所选3人都是男生的概率；
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已知z1，z2∈C，|z1|=|z2|=|z1-z2|=1，则|z1+z2|=
 
．

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