Question

已知曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=3sinθ

（θ为参数）在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换

x′= 1 2 x y′= 1 3 y

得到曲线C′．
（1）求曲线C′的普通方程．
（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0）．当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的运动轨迹方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程；
（2）设P（x，y），A（x₀，y₀），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）将

x=2cosθ y=3sinθ

代入

x′= 1 2 x y′= 1 3 y

，得C'的参数方程为

x=cosθ y=sinθ

∴曲线C'的普通方程为x²+y²=1．                  …（5分）
（2）设P（x，y），A（x₀，y₀），又B（3，0），且AB中点为P
∴有：

x0=2x-3 y0=2y

又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x-3）²+（2y）²=1
∴动点P的轨迹方程为（x-

3

2

）²+y²=

1

4

．            …（10分）

点评：本题考查参数方程和直角坐标的互化，利用直角坐标方程与参数方程间的关系，考查代入法的运用，考查计算能力．