题目内容
已知函数f（x）=log2（-x2+2x+3），求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间．
考点：复合函数的单调性,对数函数的定义域,对数函数的单调区间
专题：函数的性质及应用
分析：由-x2+2x+3＞0，求得函数f（x）的定义域，令t=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则0＜t≤4，可得f（x）=log2t 的值域，再结合二次函数的性质求得f（x）的单调递区间．
解答：
解：由-x2+2x+3＞0，解得-1＜x＜3，所以函数f（x）的定义域为（-1，3），
令t=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则0＜t≤4，所以f（x）=g（t）=log2t≤log24=2，
因此函数f（x）的值域为（-∞，2]，
函数的单调递增区间（-1，1]，递减区间为[1，3）．
令t=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则0＜t≤4，所以f（x）=g（t）=log2t≤log24=2，
因此函数f（x）的值域为（-∞，2]，
函数的单调递增区间（-1，1]，递减区间为[1，3）．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．
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