Question

已知向量

a

=（-3，2），

b

=（2，1），

c

=（3，1），t∈R
（1）求|

a

-t

b

|的最小值及相应的t的值；
（2）若

a

+t

b

与

c

共线，求t的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）利用求模公式表示出|

a

-t

b

|，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；
（2）利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；

解答： 解：（1）

a

=（-3，2），

b

=（2，1），

a

-t

b

=（-3，2）-（2t，t）=（-3-2t，2-t）
|

a

-t

b

|²=（-3-2t）²+（2-t）²=5t²+8t+13
=5（t+

4

5

）²+

49

5

≥

49

5

，当且仅当t=-

4

5

时取到等号，
所以|

a

-t

b

|的最小值为

49 5

=

7 5

5

，此时t=-

4

5

．
（2）

a

+t

b

=（-3，2）+t（2，1）=（-3+2t，2+t），

c

=（3，1），
若

a

+t

b

与

c

共线，则（-3+2t）×1=3×（2+t），解得t=-9．

点评：本题考查平面向量的坐标运算、利用数量积求模等知识，属基础题．