Question

在某次篮球训练中，规定：在甲投篮点投进一球得2分，在乙投篮点投进一球得1分；得分超过2分即停止投篮，且每人最多投3次．某同学在甲投篮点命中率0.5，在乙投篮点命中率为p，该同学选择在甲投篮点先投一球，以后都在乙投篮点投．用ξ表示该同学投篮训练结束后所得总分，其分布列如下：

ξ	0	1	2	3
p	0.02	p1	p2	p3

（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求该同学得分的数学期望；
（Ⅲ）试比较该同学选择都在乙投篮点的分超过2分与选择上述方式投篮得分超过2分的概率的大小．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意得P（ξ=0）=0.5（1-p）²=0.02，由此能求出p=0.8．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出该同学得分的数学期望．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知如果选择上述方式投篮得分超过节分的概率为0.48，如果只选择在乙投篮点投篮，得分超过2分的概率为0.8×0.8×0.8=0.512，由此能求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得P（ξ=0）=0.5（1-p）²=0.02，
解得p=0.8．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得p=0.8，
由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=0.02，
P（ξ=1）=0.5×0.2×0.8+0.5×0.8×0.2=0.16，
P（ξ=2）=0.5×0.2×0.2+0.5×0.8×0.8=0.34，
P（ξ=3）=0.5×0.8+0.5×0.2×0.8=0.48，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	0.02	0.16	0.34	0.48

Eξ=0×0.02+1×0.16+2×0.34+3×0.48=2.28．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知如果选择上述方式投篮得分超过节分的概率为0.48，
如果只选择在乙投篮点投篮，得分超过2分的概率为0.8×0.8×0.8=0.512，
∴该同学选择只在乙投篮点得分超过2分的概率大．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．