Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为l的直线与抛物线交于两点M，N，坐标原点为O，且△MON的面积为2

2

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）过点F，直线l：y=x+t被椭圆E截得的弦长的最大值为

8

3

，试求a的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得直线MN的方程为y=x-

p

2

，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|MN|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

，利用点到直线的距离公式可得点O到直线MN的距离d．再利用三角形的面积计算公式即可得出．
（2）设直线l：y=x+t被椭圆E截得的弦为G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）．由于椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）过点F（1，0），可得b=1，椭圆的方程化为：

y2

a2

+x2=1．与直线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式及其函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）由题意可得直线MN的方程为y=x-

p

2

，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(

p

2

，0)．
联立

y=x- p 2 y2=2px

，化为4x²-12px+p²=0，
∴x₁+x₂=3p，x₁x₂=

p2

4

，
∴|MN|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2(9p2-p2)

=4p，
点O到直线MN的距离d=

p 2

2

=

p

2 2

．
∴△MON的面积S=

1

2

d•|MN|=

1

2

×

p

2 2

×4p=2

2

，解得p=2．
∴抛物线C的方程y²=4x．
（2）设直线l：y=x+t被椭圆E截得的弦为G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）．
∵椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）过点F（1，0），∴b=1，
因此椭圆的方程化为：

y2

a2

+x2=1．
联立

y2 a2 +x2=1 y=x+t

，化为（a²+1）x²+2tx+t²-a²=0，
△=4t²-4（a²+1）（t²-a²）＞0，化为a²+1＞t²．
∴x₃+x₄=

-2t

a2+1

，x3x4=

t2-a2

a2+1

．
∵直线l：y=x+t被椭圆E截得的弦长的最大值为

8

3

，
∴|GH|=

2[(x3+x4)2-4x3x4]

=

2[ 4t2 (a2+1)2 - 4(t2-a2) a2+1 ]

=

2 2 a a2+1-t2

a2+1

≤

2 2 a a2+1

a2+1

=

8

3

．当且仅当t=0时取等号．
解得a=2

2

．
∴a=2

2

．

点评：本题考查了直线与椭圆抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．