Question

已知f（x）=x³-

1

2

x²-1，x∈R，
（1）求函数f（x）在点（1，

1

2

）处的切线方程；
（2）求函数f（x）在（1，2）上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，直接由直线方程的点斜式得答案；
（2）利用导数得到函数在（1，2）上的单调性，再由单调函数在开区间上无最值说明函数f（x）在（1，2）上无最大值．

解答： 解：∵f（x）=x³-

1

2

x²-1，
∴f′（x）=3x²-x．
（1）f′（1）=3×1²-1=2．
即函数f（x）在点（1，

1

2

）处的切线的斜率为2，
∴函数f（x）在点（1，

1

2

）处的切线方程为y-

1

2

=2（x-1），
整理得：4x-2y-3=0；
（2）由f′（x）=3x²-x，得x1=0，x2=

1

3

，
∴当x＞

1

3

时f′（x）＞0，即函数在(

1

3

，+∞)上为增函数．
∴f（x）在（1，2）上是增函数，无最大值．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．