Question

已知：如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF与直线AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E．
（1）求证：PA•PB=PO•PE；
（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：

分析：（1）根据切割线定理，PD•PC=PA•PB，所以原题可转化为证明PO•PE=PD•PC，即证△DPO∽△EPC，从而找出比例线段，得到等积式；
（2）由图可知，CF=CE+EF，而由垂径定理可知DE=EF，所以只要求出DE和CE即可，欲求CE，可通过证明△DHO∽△DEC，运用比例线段进行求解，至于DE，则根据题中给出的已知条件可说明三角形DHE为等腰直角三角形，而DH和HE则可通过勾股定理求出，从而求出CF的值．

解答： （1）证明：连接OD．
∵AB是⊙O的直径，且DF⊥AB于D点H，
∴

AD

=

AF

=

1

2

DF

．∴∠AOD=∠DCF．∴∠POD=∠PCE．
∵∠DPO=∠EPC，∴△DPO∽△EPC．
∴

PD

PE

=

PO

PC

．即PO•PE=PD•PC．
又PD•PC=PA•PB，∴PA•PB=PO•PE．
（2）解：由（1）知：AB是弦DF的垂直平分线，
∴DE=EF．∴∠DEA=∠FEA．
∵DE⊥CF，∴∠DEA=∠FEA=45°．∴∠FEA=∠CEP=45°．
∵∠P=15°，∴∠AOD=60°．
在Rt△DHO中∵∠AOD=60°，OD=2，
∴OH=1，DH=

3

．
∵△DHE是等腰直角三角形，∴DE=

6

．
又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，
∴△DHO∽△DEC．
∴

DH

DE

=

HO

EC

，∴

3

6

=

1

EC

．∴EC=

2

．
∴CF=CE+EF=CE+DE=

2

+

6

．

点评：此题考查比较全面，相似三角形的判定和判定、勾股定理、以及垂径定理，难易程度适中．