Question

如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．
（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．
（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．
（Ⅱ）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．

解答： （Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，
∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°
∴∠C=∠AGD，
∴∠C+∠DGE=180°，
∴C，E，G，D四点共圆．…..（5分）
（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB²，EG=1，GA=3，
∴EB=2，
又∵F为EB的三等分点且靠近E，
∴EF=

2

3

，FB=

4

3

，
又∵FG•FD=FE•FC=FB²，
∴FC=

8

3

，CE=2．…．（10分）

点评：本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．