Question

17．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率$e∈[{\sqrt{2}，2}]$，则该双曲线的渐近线与实轴所成角的取值范围是$\frac{π}{4}$≤θ≤$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=$\frac{b}{a}$，根据2≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤4，求出$\frac{b}{a}$的范围，即得tanθ的范围，从而得到θ 的范围．

解答 解：设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=$\frac{b}{a}$．
由题意可得2≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤4，
∴1≤$\frac{b}{a}$≤$\sqrt{3}$，即 1≤tanθ≤$\sqrt{3}$，∴$\frac{π}{4}$≤θ≤$\frac{π}{3}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$≤θ≤$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出1≤$\frac{b}{a}$≤$\sqrt{3}$，是解题的关键．