题目内容
9．给出下列结论：（1）函数f（x）=tanx有无数个零点；
（2）集合A={x|y=2x+1}，集合 B={x|y=x2+x+1}则A∩B={（0，1），（1，3）}；
（3）函数$f（x）=\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}|{sinx}|$的值域是[-1，1]；
（4）函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象的一个对称中心为$（\frac{π}{3}，0）$；
（5）已知函数f（x）=2cosx，若存在实数x1，x2，使得对任意的实数x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为2π．
其中结论正确的序号是（1）（4）（把你认为结论正确的序号都填上）．
分析 （1）求出正切函数的零点判断（1）；
（2）化简两集合并取交集判断（2）；
（3）写出分段函数求得值域判断（3）；
（4）求出三角函数的对称中心判断（4）；
（5）把已知存在实数x1，x2，使得对任意的实数x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立转化为求函数的周期判断（5）．
解答 解：（1）由tanx=0，得x=kπ，k∈Z，∴函数f（x）=tanx有无数个零点，故（1）正确；
（2）集合A={x|y=2x+1}=R，集合 B={x|y=x2+x+1}=R，则A∩B=R，故（2）错误；
（3）函数$f（x）=\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}|{sinx}|$=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥0}\\{0，sinx＜0}\end{array}\right.$，其值域是[0，1]，故（3）错误；
（4）由2x+$\frac{π}{3}=kπ$，得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，k∈Z，取k=1，得x=$\frac{π}{3}$，∴函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象的一个对称中心为$（\frac{π}{3}，0）$，故（4）正确；
（5）∵函数f（x）=2cosx的周期为2π，存在实数x1，x2，使得对任意的实数x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，说明|x1-x2|的最小值为$\frac{1}{2}$周期=π，故（5）错误．
∴正确的命题是（1），（4）．
故答案为：（1）（4）．
点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象和性质，考查分析问题和求解问题的能力，属中档题．
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②如果m∥β，m?α，α∩β=n，那么m∥n；
③如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；
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其中正确的命题是（ ）
| A． | ①② | B． | ①③ | C． | ①④ | D． | ③④ |
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1．
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