Question

12．数列{a_n}中，满足a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ-1，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．

Answer 1

分析 判断数列是等比数列，然后利用等比数列求和公式求解即可．

解答 解：数列{a_n}中，满足a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ-1，
可得a₁+a₂+…+a_n-1=3^n-1-1，
可得a_n=2•3^n-1，由a₁=2，满足题意，所以数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为3，
则{$\frac{1}{{a}_{n}}$}也是等比数列，首项为：$\frac{1}{2}$，等比为：$\frac{1}{3}$，
所以：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．
故答案为：$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．

点评 本题考查数列求和，等比数列的判断，考查转化思想以及计算能力．