已知数列{an}满足a1=1.a2=$\frac{1}{2}$.且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0.n∈N*.记T2n为数列{an}的前2n项和.数列{bn}是首项和公比都是2的等比数列.则使不等式(T2n+$\frac{1}{{b} {n}}$)•$\frac{1}{{b} {n}}$＜1成立的最小整数n为( )A．7B．6C．5D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，n∈N^*，记T_2n为数列{a_n}的前2n项和，数列{b_n}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式（T_2n+$\frac{1}{{b}_{n}}$）•$\frac{1}{{b}_{n}}$＜1成立的最小整数n为（　　）

A．

B．

C．

D．

分析根据数列的递推关系求出T_2n以及数列{b_n}的通项公式，然后根据不等式的性质进行求解即可．

解答解：∵[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，
∴当n为偶数时，可得（3+1）a_n+2-2a_n+2（1-1）=0，即$\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$，
∴a₂，a₄，a₆，…是以${a_2}=\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
当n为奇数时，可得（3-1）a_n+2-2a_n+2（-1-1）=0，即a_n+2-a_n=2，
∴a₁，a₃，a₅，…是以a₁=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=$[n×1+\frac{1}{2}n（n-1）×2]+\frac{{\frac{1}{2}[（1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}$=${n^2}+1-\frac{1}{2^n}$，
∵数列{b_n}是首项和公比都是2的等比数列，
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
则（T_2n+$\frac{1}{{b}_{n}}$）•$\frac{1}{{b}_{n}}$＜1等价为（${n^2}+1-\frac{1}{2^n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）•$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，
即（n²+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，即n²+1＜2ⁿ，
作出函数y=n²+1与y=2ⁿ，的图象如图：
则当n=1时，2=2，
当n=2时，5＜4不成立，
当n=3时，10＜8不成立，
当n=4时，17＜16不成立，
当n=5时，26＜32成立，
当n≥5时，n²+1＜2ⁿ恒成立，
故使不等式（T_2n+$\frac{1}{{b}_{n}}$）•$\frac{1}{{b}_{n}}$＜1成立的最小整数n为5，
故选：C