Question

3．已知三棱锥A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为10，定长为m（m＜6）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），线段MN的中点P的轨迹的面积为2π，则m的值等于4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，由三棱锥A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直，可得MA⊥AN．即∠MAN=90°，可得AP=$\frac{1}{2}$m，且点P的运动轨迹为圆弧，是以点A为圆心，$\frac{1}{2}$m为半径的圆的$\frac{1}{4}$，利用面积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示
∵三棱锥A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直，
∴MA⊥AN．
∴∠MAN=90°，点P是线段MN的中点，
可得AP=$\frac{1}{2}$m，且点P的运动轨迹为圆弧，
是以点A为圆心，$\frac{1}{2}$m为半径的圆的$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$×$π（\frac{1}{2}m）^{2}$=2π，
解得m=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系、直角三角形的性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．