Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+4x-lnx．
（1）当a=-3时，求f（x）的单调区间；
（2）当a≠0时，若f（x）是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入，求出函数的导函数f'（x），根据导函数的正负判断函数的单调区间；
（2）根据题意可知f'（x）≤0，可转化为ax²+4x-1≤0（x＞0）利用二次函数的性质求解即可．

解答 解：f（x）的定义域是为（0，+∞）
（1）a=-3$f（x）=-\frac{3}{2}{x^2}+4x-lnx$$⇒f'（x）=-3x+4-\frac{1}{x}=-\frac{{3{x^2}-4x+1}}{x}$
令$f'（x）＞0⇒\frac{1}{3}＜x＜1$，
令$f'（x）＜0⇒x＞1或0＜x＜\frac{1}{3}$，
所以f（x）的单调增区间为$（\frac{1}{3}，1）$，单调减区间为$（0，\frac{1}{3}）$、（1，+∞）．…（6分）
（2）要使f（x）是减函数，必须使f'（x）≤0，即$f'（x）=ax+4-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}+4x-1}}{x}$，
由于x＞0，要使f'（x）≤0，只要ax²+4x-1≤0即$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△={4^2}-4a（-1）≤0⇒a≤-4\end{array}\right.$
∴a≤-4
故a的取值范围为（-∞，-4]．    …（12分）

点评 本题考查了利用导函数判断函数的单调性和二次函数中参数的讨论问题，属于基础题型，应熟练掌握．