Question

11．为了判断学生解几何题和代数题能力是否与性别有关，线随机抽取50名学生，得到如下2×2联列表：（单位：人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为解几何题和代数题能力与性别有关？
（2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望E（X）．
（3）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
附表及公式
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据4.844＞3.841，即可得到认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%．
（2）X可能取值为：0，1，2．求出概率，然后得到分布列，求出期望．
（3）利用几何概型求解即可．

解答 解：（1）∵根据表中数据，得到X²的观测值$\frac{50×（{22×12-8×8）}^{2}}{30×20×30×20}$≈5.56＞5.024，
∴有97.5%的把握认为解几何题和代数题能力与性别有关．
（2）由题意，可知在选择做几何题的8名女生中，任意抽取两人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28种，其中甲乙两人，没有一个人被抽到有：${C}_{6}^{2}$=15种，恰有一人被抽到有：${C}_{2}^{1}{C}_{6}^{1}$=12种．
两人被抽到有：${C}_{2}^{2}$=1种．
又X可能取值为：0，1，2．
P（X=0）=$\frac{15}{28}$，
P（X=1）=$\frac{12}{28}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=2）=$\frac{1}{28}$，

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=$0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．
（3）设甲每次解答一道几何题所用的时间x，乙每次解答一道几何题所用的时间为y，
则基本事件满足的区域：$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$，乙比甲先解答完满足：x＞y．如图：
∴由几何概型：P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$．

乙比甲先解答完的概率：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查独立性检验的应用，分布列以及期望的求法，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．