Question

4．已知圆的极坐标方程为ρ²-4$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{3π}{4}$-θ）+6=0．
（1）将极坐标方程化为圆的直角坐标方程；
（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）圆的极坐标方程为ρ²-4$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{3π}{4}$-θ）+6=0．展开可得：ρ²-4$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ+sinθ）+6=0，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．
（2）由x²+y²-4x-4y+6=0配方可得：（x-2）²+（y-2）²=2，令x=2+$\sqrt{2}$cosα，y=2+$\sqrt{2}$sinα，（α∈[0，2π））．可得x+y=4+2sin$（α+\frac{π}{4}）$，利用三角函数的单调性与值域即可得出最值

解答 解：（1）圆的极坐标方程为ρ²-4$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{3π}{4}$-θ）+6=0．展开可得：ρ²-4$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ+sinθ）+6=0，化为直角坐标方程：x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）由x²+y²-4x-4y+6=0配方可得：（x-2）²+（y-2）²=2，令x=2+$\sqrt{2}$cosα，y=2+$\sqrt{2}$sinα，（α∈[0，2π））．
则x+y=2+$\sqrt{2}$cosα+2+$\sqrt{2}$sinα=4+2sin$（α+\frac{π}{4}）$∈[2，6]．
∴当sin$（α+\frac{π}{4}）$=-1时，x+y=2取得最小值．
当sin$（α+\frac{π}{4}）$=1时取得最大值6．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程的应用、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．