题目内容
4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦点为F（-c，0）（c＞0），过点F作圆${x^2}+{y^2}=\frac{a^2}{4}$的一条切线交圆于点E，交双曲线右支于点P，若$\overline{OP}=2\overline{OE}-\overline{OF}$，则双曲线的离心率为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$ | D． | 2 |
分析 判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出双曲线的离心率．
解答 
解：∵$\overline{OP}=2\overline{OE}-\overline{OF}$，则$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}）$，∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，
则PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，∵PF-PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2，即9a2+a2=4c2．
所以离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：A．
点评 本小题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于中档题
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12．
如图在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（ ）
如图在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（ ）| A． | $\frac{2π}{3}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$ |
19．若实数x，y∈R，则“x＞0，y＞0”是“xy＞0”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是BB1和CD的中点．
13．抛物线y2=2x的准线方程是（ ）
| A． | x=$\frac{1}{2}$ | B． | x=1 | C． | x=-$\frac{1}{2}$ | D． | x=-1 |
14．若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为$\sqrt{3}$，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
| A． | y=±x | B． | $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$ | C． | $y=±\sqrt{2}x$ | D． | $y=±\frac{1}{2}x$ |