Question

14．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+2-m=0．
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B；
（Ⅱ）若∠ACB=120°，求m的值；
（Ⅲ）当|AB|取最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直线l：mx-y+2-m=0恒过D（1，2）点，判断点与圆的位置关系推出结果．
（Ⅱ）利用角，转化为圆心到直线的距离，求解即可．
（Ⅲ）判断弦AB最短时，直线l的斜率k=-1，即m=-1，推出直线方程，然后利用半径，半弦长，弦心距的关系求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：直线l：mx-y+2-m=0可化为：直线l：m（x-1）-y+2=0恒过D（1，2）点，
将D（1，2）代入可得：x²+（y-1）²＜5，
即D（1，2）在圆C：x²+（y-1）²=5内部，
故对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；
（Ⅱ）∠ACB=120°，圆的半径为：$\sqrt{5}$，圆心（0，1）到直线mx-y+2-m=0的距离为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
可得：$\frac{|-1+2-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得m=-4$±\sqrt{15}$．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得k_CD=$\frac{2-1}{1-0}$=1，
弦AB最短时，直线l的斜率k=-1，即m=-1，
故此时直线l的方程为-x-y+3=0，即x+y-3=0，
此时圆心C到直线的距离d=$\frac{丨0+1-3丨}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
故|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．