Question

12．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，BC=4，AD=DC=2，E为PA的中点，F为线段BC上一点，且CF=1．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （I）取PD的中点M，连结EM，CM，证明四边形EFCM是平行四边形可得EF∥CM，故而EF∥平面PCD；
（II）取BC的中点N，连结AN，则可证明AB⊥AC，结合AC⊥PA即可得出AC⊥平面PAB，于是平面PAB⊥平面PAC．

解答 证明：（I）取PD的中点M，连结EM，CM，
∵E，M分别是PA，PD的中点，
∴EM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，又CF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
∴四边形EFCM是平行四边形，
∴EF∥CM，又EF?平面PCD，CM?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（II）取BC的中点N，连结AN，则CN=BN=AN=2，
∴△ABN和△ACN均为等腰直角三角形，
∴∠BAN=∠CAN=45°，∴AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PA，
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，又AC?平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PAC．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．