Question

数列{ a_n}的前n项和为S_n=33n-n²，
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）{a_n}的前多少项和最大，并求出该最大值．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=34-2n，验证当n=1时，也满足，于是可求得{a_n}的通项公式为a_n=34-2n，利用等差数列的定义证明即可；
（2）令a_n≥0可求得n≤17，从而可得答案．

解答： （1）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=34-2n，又当n=1时，a₁=S₁=32=34-2×1满足a_n=34-2n，
故{a_n}的通项公式为a_n=34-2n，
所以a_n+1-a_n=34-2（n+1）-（34-2n）=-2，
故数列{a_n}是以32为首项，-2为公差的等差数列；
（2）解：令a_n≥0得：34-2n≥0，所以n≤17，
故数列{a_n}的前16项或前17项和最大，
此时S₁₇=33×17-17²=272．

点评：本题考查等差数列的关系的确定及通项公式的应用，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．