Question

19．如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成90°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．E在AB上，截面EGFH的最大面积是$\frac{1}{4}{a}^{2}$．

Answer 1

分析 由已知得∠HGF=90°，设AE：AB=x，则S_{四边形EFGH}=EF．EH=ax•a（1-x），由此能求出当E为AB的中点时，截面的面积最大，并能求出最大面积．

解答 解：∵空间四边形ABCD的对棱AD、BC成90°的角，且AD=BC=a，
平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．E在AB上，
∴∠HGF=90°，设AE：AB=x，
∵$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=x$，BC=a，∴EF=ax，
由$\frac{EH}{AD}=\frac{BE}{AB}=1-x$，得EH=a（1-x）．
S_{四边形EFGH}=EF．EH=ax•a（1-x）=a²•（-x²+x）
=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a²（x-$\frac{1}{2}$）²，
当x=$\frac{1}{2}$时，${S_{最大值}}=\frac{1}{4}$a²，
即当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为${S_{最大值}}=\frac{1}{4}$a²．
故答案为：$\frac{1}{4}{a}^{2}$．

点评 本题考查截面面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．