Question

4．已知气象台A向西300km处，有个台风中心，已知台风以每小时40$\sqrt{2}$km的速度向东北方向移动，距台风中心100$\sqrt{5}$km以内的地方都处在台风圈内，问：从现在起，多长时间后，气象台A进入台风圈？气象台A处在台风圈内的时间是多长？

Answer 1

分析 建立直角坐标系，可得t小时后，B的坐标为（-300+40$\sqrt{2}$tcos45°，40$\sqrt{2}$tsin45°），利用B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响，即可得出结论．

解答 解：以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B₁的坐标为（-300，0）．
根据题意，可知，t小时后，B的坐标为（-300+40$\sqrt{2}$tcos45°，40$\sqrt{2}$tsin45°），
即（-300+40t，40t），
因为以台风中心为圆心，以100$\sqrt{5}$千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，
所以B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响．
所以令|AB|≤100$\sqrt{5}$，即（-300+40t）²+（40t）²≤（100$\sqrt{5}$）²，
整理得2t²-15t+25≤0解得2.5≤t≤5
故大约2.5小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续2.5个半小时．

点评 本题给出实际应用问题，求台风影响气象台的时长．着重考查了圆的标准方程等知识，考查了直线与圆的知识在实际问题中的应用，属于中档题．